Fase minima
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Fase minima
Nelle discussioni relative all’equalizzazione ed in particolare a quella applicata al tentativo di migliorare la risposta acustica di una stanza, spesso affiora il termine “fase minima”, che generalmente rientra in un contesto che definisce se l’equalizzazione può o non può essere usata con successo per risolvere un problema di risposta. Quindi, che cos’è la “fase minima” e perchè dovremmo preoccuparcene?
Esistono formule matematiche rigorose e definizioni della teoria dei sistemi che definiscono cosa costituisce un sistema a fase minima, ma non lo ripeterò in questa sede. Nel contesto delle misure acustiche, un sistema a fase minima, possiede due importanti proprietà: introduce il più basso ritardo ai segnali che lo attraversano e può essere invertito.
Esistono formule matematiche rigorose e definizioni della teoria dei sistemi che definiscono cosa costituisce un sistema a fase minima, ma non lo ripeterò in questa sede. Nel contesto delle misure acustiche, un sistema a fase minima, possiede due importanti proprietà: introduce il più basso ritardo ai segnali che lo attraversano e può essere invertito.
Fase minima e Tempo di ritardo
La proprietà "lowest time delay" (più basso tempo di ritardo), si riferisce alla quantità delle componenti ritardate in frequenza di un segnale, che allo stesso tempo forniscono la risposta in frequenza misurata (SPL). Possiamo vedere le caratteristiche di ritardo, direttamente nel grafico Group Delay del sistema. Data una risposta in frequenza misurata, non siamo in grado di stabilire dalla sola risposta SPL, se ciò che abbiamo rilevato, possiede la caratteristica di “minimo ritardo”. Se da qualche parte nel sistema, esiste un ritardo come quello impiegato dal suono per viaggiare dall’altoparlante al microfono, quel ritardo rappresenta la fase non-minima (nel senso stretto del termine) ma non altera la risposta SPL che abbiamo misurato.
Un ritardo, causa uno sfasamento che aumenta con la frequenza. Per esempio, un ritardo di appena 1ms, produce uno sfasamento di 36 gradi a 100Hz, ma lo sfasamento diventa di 3600 gradi a 10kHz, poichè 1ms è 1/10 del periodo di 10ms di un segnale a 100Hz ma è 10 volte il periodo di 0,1ms di un segnale a 10kHz, e ogni periodo è di 360 gradi.
Lo sfasamento causato dal ritardo, è lineare con la frequenza. Ciò significa per esempio, che 1ms di ritardo produrrà uno sfasamento di 36 gradi a 100Hz, 2 ms a 200Hz, 3ms a 300Hz e così via. Se l’asse della frequenza è stato impostato su lineare, il grafico della fase di un ritardo, si presenterà come una linea retta che decresce all’aumentare della frequenza. Quanto ripidamente questa decresce, è determinato da quanto grande è il ritardo.
Mentre i ritardi costanti rendono difficile interpretare la risposta di fase, la loro rimozione dalle nostre misure, non causerà nessun problema con l’applicazione dell’EQ. Tuttavia, la loro rimozione (o il loro effetto), non è sufficiente a rendere un sistema a fase minima ma c'è dell'altro da fare.
Fase minima e Invertibilità
I sistemi a fase minima, possono essere invertiti, che significa che un filtro, può essere progettato in modo che, se applicato al sistema, produca una risposta piatta e corregga la risposta di fase allo stesso tempo. Questa è chiaramente una proprietà interessante da ricercare se vogliamo applicare l’EQ. Se applichiamo l’EQ ad un sistema che non è a fase minima, o più in particolare in una regione dove non è a fase minima, l’EQ non produrrà i risultati sperati. Potrebbe essere ancora possibile ottenere una risposta piatta, ma correggendo la risposta di fase, tale operazione non è possibile.
Un semplice esempio di qualcosa che renda l’idea di una risposta a fase non-minima, sono le riflessioni che sono grandi o più grandi del segnale diretto (le riflessioni lungo percorsi che sono differenti ma con la stessa lunghezza, possono combinarsi per produrre livelli più alti, o le superfici curve, possono focalizzare una riflessione). Nel caso semplice di una riflessione che ha esattamente la stessa ampiezza del segnale diretto, troveremo delle frequenze regolarmente distanziate alle quali la riflessione è sfasata di 180° rispetto al suono diretto. Quando questi segnali si combinano, il risultato è ampiezza zero a quelle frequenze (un esempio estremo del filtraggio a pettine spesso incontrato nelle misure acustiche). Tale livello zero, non può essere ripristinato al suo valore iniziale, da nessuna quantità di equalizzazione, poichè agendo questa equamente sia sul segnale diretto che su quello riflesso, il segnale continuerebbe ad essere cancellato. Se la risposta contiene regioni che sono a zero, queste non possono essere invertite e non sono a fase minima. Se le riflessioni sono più grandi del suono diretto, il problema è altrettanto importante come anche se non avessimo più un livello zero, ci troveremmo nella situazione finale dove le correzioni che l’EQ sta applicando, dovrebbero continuare ad essere più grandi, per contrastare la sempre più grande riflessione raggiungendo velocemente il limite massimo.
Identificare le regioni a fase minima
Le risposte di una stanza, sono a fase mista. Ciò significa che ci sono regioni a fase minima e regioni che non sono a fase minima. Le regioni a fase minima, tendono a manifestarsi a bassa frequenza ma non possiamo semplicemente dire che una risposta è a fase minima al di sotto di alcuni specifici tagli. Non è possibile identificare regioni a fase minima semplicemente guardando la risposta di fase complessiva, specialmente se la misura non mostra alcun ritardo. La risposta dettagliata, fornisce invece un maggior numero di dettagli, tracciati ungo l’asse lineare della frequenza, ma spesso copre un intervallo talmente grande, da risultare inutilizzabile. Anche se dovessimo rimuovere ogni ritardo nella misura, la sola risposta di fase non ci permetterebbe ancora di identificare facilmente le regioni a fase minima. Vi è tuttavia, un metodo semplice. Qui la misura di un sistema sub + altoparlanti principali in una stanza:
Possiamo tentare di indovinare che si tratta principalmente di fase minima al di sotto della frequenza di transizione della stanza e di fase non minima al di sopra, ma per evitare congetture, diamo un’occhiata al ritardo di gruppo. Il grafico del ritardo di gruppo ci mostra di quanto ciascuna frequenza è stata ritardata. Matematicamente è il grafico della pendenza della fase scompattata, così ovunque quella fase decresce linearmente, corrisponde ad una regione con ritardo di gruppo costante (quella regione è ritardata da una quantità di tempo costante). Nell’immagine il grafico del ritardo di gruppo relativo alla misura:
Guardando un pò più da vicino, possiamo ipotizzare che, i luoghi nel ritardo di gruppo, dove ci sono oscillazioni particolarmente rilevanti, non sono a fase minima, ma questo non ci permette ancora di identificare facilmente le regioni a fase minima. Per fare questo, dobbiamo comparare la misura, con un sistema che ha stessa risposta in ampiezza ma è a fase minima e guardare alla misura del ritardo di gruppo in eccesso. La risposta a fase minima, è generata utilizzando l’ampiezza della misura, e calcolando da essa, la corrispondente fase minima, utilizzando una relazione matematica tra le due che vale per i sistemi a fase minima. Osservando la differenza tra quanto misurato e la fase minima (la fase in eccesso) e misurando la pendenza di tale differenza per trovare il ritardo di gruppo in eccesso, otterremo questo grafico:
Ora, abbiamo qualcosa su cui lavorare. In ogni punto in cui, il grafico del ritardo di gruppo in eccesso è piatto, siamo in presenza di una regione della risposta a fase minima. Possiamo vedere che ci sono regioni anche a frequenze molto basse, dove la risposta non è a fase minima, per esempio tra 44 e 56Hz. Queste generalmente corrispondono a regioni dove ci sono picchi nella risposta molto ripidi, e sottolineano gli scarsi risultati ottenuti, quando si tenta di correggerle con un EQ. Di solito invece, i picchi a bassa frequenza si trovano generalmente in regioni a fase minima e il grafico è piuttosto piatto nella regione dei 28Hz e dei 60Hz, che lascia ben sperare ad una positiva applicazione dell’EQ. In generale, i picchi nella risposta, sono il risultato di caratteristiche che sono correggibili attraverso l’equalizzazione (parlando tecnicamente, sono dovuti ai poli della risposta e l’equalizzatore può inserire degli zeri per cancellare tali poli).
Ci sono regioni a frequenze relativamente alte che sono a fase minima, ad esempio tra 300 e 500Hz, che nonostante le repentine variazioni della risposta in quell’area, rendono possibile l’applicazione dell’EQ. Tuttavia, dobbiamo ricordare che la misura è valida solo per la posizione del microfono nella quale questa è stata eseguita, e al crescere della frequenza, la risposta cambia più rapidamente al muoversi del microfono. L’EQ, che sembra dare buoni risultati nella posizione originale nella quale è stata eseguita la misura, può dare pessimi risultati in altre posizioni. Per questo è importante controllare dove saranno posizionati gli ascoltatori. Regolazioni dell’EQ a banda stretta, non dovrebbero essere utilizzate al di fuori della gamma modale. Maggiore è la frequenza, maggiore è la regolazione dell’EQ necessaria, per avere qualche possibilità di essere utilizzata al di fuori di regioni molto piccole.
Per inciso, il grafico del ritardo di gruppo in eccesso, mostra anche chiaramente un offset tra il subwoofer e gli altoparlanti principali. Il sub, è in ritardo di 25ms, ma questo non è così ovvio dal grafico complessivo del ritardo di gruppo. Il grafico del ritardo di gruppo in eccesso, è utile per l’allineamento temporale degli altoparlanti.
Una causa comune del comportamento di fase non-minima nelle stanze
Se sistemi a fase minima sono messi in cascata (collegati in serie), il sistema risultante sarà ancora a fase minima. Le funzioni di trasferimento di ciascuno di essi, saranno moltiplicate tra loro e questo manterrà le caratteristiche di fase minima. Riguardo al paragrafo sull’invertibilità sopra citato, i sistemi a fase minima non avranno in alcun modo ampiezza zero e moltiplicando tra loro dei valori diversi da zero, non genereranno un valore zero. Tuttavia, aggiungendo le risposte dei sistemi a fase minima, si otterrà un risultato che è titpicamente a fase non minima, su tutta la risposta. Se ci sono aree dove le risposte dei sistemi che stiamo aggiungendo, sono uguali in ampiezza ma opposte di fase, la loro somma sarà pari a zero. Qui vediamo il problema relativo alle risposte della stanza, poichè quelle che misuriamo, sono composte dalla somma di molte risposte differenti, a causa del suono diffuso nella stanza e quello riflesso dalle sue pareti. Ciò si applica anche alle frequenze più basse, come possiamo vedere in seguito.
Modi assiali in una stanza rettangolare
Per fornire un semplice esempio di come la somma dei segnali in una stanza, possa renderla a fase non-minima, anche alle basse frequenza, possiamo dare un’occhiata al comportamento dei modi assiali in una stanza perfettamente rettangolare. Tali risultati sono facilmente simulati (in questo caso utilizzando il tool per la simulazione modale semplice, di cui REW dispone), fornendoci una serie ben controllata di risposte da studiare. Per le risposte riportate qui sotto, le dimensioni della stanza sono 7.00 x 6.86 x 3.43m, che ci fornisce una distribuzione dei modi sulla lunghezza ogni 24.5Hz, sulla larghezza ogni 25Hz e sull’altezza ogni 50Hz. La sorgente è posta contro la parete frontale, a 0.25m dal muro di sinistra e a 0.15m dal pavimento. Il microfono è posto a 1.5m dalla parete posteriore, 4.28m dal muro di sinistra e a 1m dal pavimento. Le superfici della stanza hanno un assorbimento uniforme pari a 0.20 a tutte le frequenze.
Il primo grafico mostra le risposte di fase e la SPL di ciascun asse. Tutti sono perfettamente a fase minima, e, in questo modo, la fase in eccesso (rappresentata dalla linea nera), è piatta e rimane a zero. Un asse a frequenza lineare, viene utilizzato per visualizzare più facilmente gli effetti modali, che sono linearmente distribuiti in frequenza.
A seguire, la risposta combinata, che mostra la fase minima in grigio e in eccesso in nero, seguita dal grafico del ritardo di gruppo in eccesso:
La risposta nell’intervallo, non è più completamente a fase minima come possiamo vedere dalla fase in eccesso, ma devia drasticamente nella zona tra 70 e 120Hz. A 110Hz, dove c'è un forte calo nella risposta, vi è un forte picco nel ritardo di gruppo in eccesso. Tentare di appiattire la risposta con un EQ in questa regione, sarebbe sciocco e, nelle regioni dove la risposta è tutt’altro che a fase minima, potrebbe non dare i risultati sperati indicandoci che sarebbe meglio evitare di pensare a prospettive di equalizzazione. Le regioni a fase non-minima sono anche soggette a mostrarci grandi variazioni con la posizione e sono maggiormente interessate dai cambiamenti che avvengono all’interno della stanza, come i cambiamenti che interessano ciascuno dei segnali, che sommati alla risposta nella regione di fase minima, possono alterarne pesantemente il comportamento. L’aspetto positivo è dato dai trattamenti acustici a banda larga, il cui intervento è comunque efficace, sia nelle stanze a fase minima che a fase non-minima.
Nota: i risultati previsti dell’EQ, che REW mostra nella sua finestra, sono ottenuti applicando i filtri scelti, alla risposta all’impulso misurata e includendo gli effetti del comportamento a fase non-minima, in modo da ritrarre accuratamente i risultati che si sarebbero ottenuti nel punto in cui la misura è stata effettuata.
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